1. feladat Lineáris erőtörvényű rugó direkciós állandója k=3,5 N/m. Mennyivel térítsük ki az egyensúlyi helyzetéből, hogy a hozzá rögzített m=17 dkg tömegű test a rugó egyensúlyi helyzetén Vmax=0,6 m/s sebességgel haladjon át?
Ez harmonikus rezgőmozgás, azokkal a képletekkel kell dolgozni. A legnagyobb sebességet az egyensúlyi helyzeten áthaladáskor éri el a rugó. Az alábbi képletek kellenek a megoldáshoz:
V_{max}=A*\omega \\ \omega=\sqrt \frac k m \\ k:rugóállandó, m:tömeg, \omega:körfrekvencia
Az A amplitúdót keressük. A Vmax egyenletből ezt kifejezzük, a körfrekvenciát kiszámítjuk a megadott adatokból.
\omega=\sqrt \frac k m = \sqrt \frac {3,5} {0,17}=4,54 \\A=\frac {V_{max}} {\omega}=\frac {0,6} {4,54}=0,132 \space méter
3. feladat. Aorta hossza, s=25 cm, vér sebessége v=0,29 m/s. Mennyi t idő alatt áramlik át ezen az érszakaszon a vér? Ennyi idő alatt mennyi vér áramlik át, ha az aorta kerülete K=50 mm?
t=\frac s v=\frac {0,25} {0,29}=0,86\space s
A K=50 mm kerületből kell visszaszámolni az aorta r sugarát, amiből az A keresztmetszetet, majd a térfogatot. Centiméterbe fogok mindent átváltani. Egy cső V térfogatát kell kiszámolni.
K=2*r*\pi \Rightarrow r=\frac {K} {2*\pi}=\frac 5 {6,28}=0,796 \space cm
V=keresztmetszet*hossz=r^2*\pi*l={0,796}^2*3,14*25=49,73 \space cm^3
4. feladat. Daruval emelt m=2 tonna tömegű teher emelésének indításakor a gyorsulás a=0,2 m/s2. A darukábel l=4 m hosszú. Young modulusa E=6*1010. Mekkora legyen a kábel A keresztmetszete, ha a legnagyobb megengedett relatív megnyúlása ε=0,0017?
A kezdeti gyorsulásból az F erőt ki tudjuk számítani, az F=m*a képletből.
F=m*a=2000 *0,2=400N
A darukábel hossza azért van megadva, mert abból és a relatív megnyúlásból a tényleges megnyúlás kiszámítható. A relatív megnyúlás jele:ε A Δl megnyúlás és az l eredeti hossz hányadosa. Ebből kiszámítható a Δl megnyúlás.
\epsilon=\frac {\Delta l}{l} \Rightarrow \Delta l=\epsilon*l=0,0017*4=0,0068 \space m
6,8 mm a megnyúlás mértéke. Tehát 400 N terhelés esetén 0,0068 m-t nyúlhat a kötél. A Young-modulus jele: E. Képlete, amiből a kötél A keresztmetszete számítható:
\frac {\Delta l}{l}=\epsilon=\frac {F}{E*A}\\ ----------- \\ A=\frac {F} {E*\epsilon}=\frac {400} {6*10^{10}*0,0017}=\frac {400}{102000000}=\underline {3,92*10^{-6}\space m^2}