Logikai algebra egyszerűen, feladatokkal, megoldásokkal

Az oldal célja, hogy röviden, de érhetően bemutassa a logikai algebra alapjait. Ez szükséges lehet egy szakközépiskolai tudásszint eléréséhez. Feladatokat is írok folyamatosan a Redmenta oldalamon.

Logikai algebra alapműveletek

ÉS művelet igazságtábla, a két bemenet: A és B, kimenet: Y

\begin{array}{c:c:c} A & B & Y \\ \hline 0 & 0 & 0 \\ \hdashline 0 & 1 & 0\\ \hdashline 1 & 0 & 0\\ \hdashline 1 & 1 & 1 \end{array}

VAGY művelet igazságtábla, a két bemenet: A és B, kimenet: Y

\begin{array}{c:c:c} A & B & Y \\ \hline 0 & 0 & 0 \\ \hdashline 0 & 1 & 1\\ \hdashline 1 & 0 & 1\\ \hdashline 1 & 1 & 1 \end{array}

NEM művelet igazságtáblája NOT, invertálás, negálás, jelölése a felülvonás

\begin{array}{c:c} A & Y \\ \hline 0 & 1 \\ \hdashline 1 & 0\\ \end{array}

NEM-ÉS művelet igazságtábla, NOT-AND, NAND, a két bemenet: A és B, kimenet: Y

\begin{array}{c:c:c} A & B & Y \\ \hline 0 & 0 & 1 \\ \hdashline 0 & 1 & 1\\ \hdashline 1 & 0 & 1\\ \hdashline 1 & 1 & 0 \end{array}

NEM-VAGY művelet igazságtáblája, NOT-OR, NOR, a két bemenet: A és B, kimenet: Y

\begin{array}{c:c:c} A & B & Y \\ \hline 0 & 0 & 1 \\ \hdashline 0 & 1 & 0\\ \hdashline 1 & 0 & 0\\ \hdashline 1 & 1 & 0 \end{array}

Egy logikai függvényt igazságtáblával is megadható. Például egy kétváltozós függvény igazságtáblája a következő:

1.1. Azonosságok

A fenti műveletek a következő azonosságok felírására alkalmasak. Ezeket a függvények egyszerűsítésének tudjuk felhasználni.

\boxed {A \cdot B=B \cdot A}\\ \boxed {A+B=B+A}\\ \boxed {A \cdot (B+C)=(A\cdot B)+(A\cdot C)}\\ \\ \boxed {A+(B\cdot C)=(A+B)\cdot (A+C)}\\\boxed {A\cdot 1=A}\\ \boxed {A\cdot 0=0}\\ \boxed {A+1=1} \\ \boxed {A+0=A}\\ \boxed {A\cdot A=A}\\ \boxed {A\cdot \overline{A}=0}\\ \boxed {A+A=A}\\ \boxed {A+\overline{A}=1}\\ \boxed {A\cdot B+A=A} \\ \boxed {A+A\cdot B+A\cdot B\cdot C=A} \\ \boxed {A\cdot A+B\cdot A+B+C=A} \\De-Morgan:\\ \boxed {\overline{A\cdot B}=\overline A+\overline B}\\ \boxed {\overline {A+B}=\overline A\cdot \overline B} \\ \boxed{ \overline{A \cdot B \cdot C \cdot ...} = \overline A + \overline B + \overline C + \overline ... } \\ \boxed{ \overline{A + B + C + ...} = \overline A \cdot \overline B \cdot \overline C \cdot \overline ... }

A \cdot (B+C)=A \cdot B + A \cdot C

A+B\cdot C=(A+B)\cdot(A+C)

A+A \cdot B=A

A+ \overline A \cdot B=A+B

\overline A+A \cdot B=\overline A+B

A+\overline A \cdot \overline B= A+\overline B

\overline A+ A \cdot \overline B=\overline A+\overline B

1.2. Logikai algebra feladatok

A logikai algebra legegyszerűbb feladati közül néhány fontos és vizsgán várható feladat.

1.2.1. Egyszerűsítések

Az alábbi logikai függvényeket egyszerűsítsd algebrai módszerekkel!

1.) F^{3}=C\cdot \overline{B}\cdot A+C\cdot B\cdot A+ \overline{C}\cdot A \\=C\cdot A(\overline B+B)+\overline C\cdot A=\\=C*A+\overline C\cdot A=\\=A\cdot (C+\overline C)=\textcolor{#228B22}{A}

Kiemeltem a C*A-t az első két tagból. Ezután a felhasznált azonosságok:

(\overline B+B)=1 ; A\cdot 1=A;(\overline C+C)=1; A\cdot 1=A;

További feladatok, megoldások lejjebb!

2.) F^{2}=\overline{A}+ \overline{B}+\overline{B*A}=\\= \overline{A}+ \overline{B}+\overline B+\overline A=\\=\overline{A}+ \overline{A}+\overline B+\overline B=\\=\textcolor{#228B22}{\overline{A}+\overline B}

3.) F^{2}=\overline{\overline{B}\cdot A}+ \overline{B\cdot \overline{A}}=\\ \overline {\overline B}+\overline A+\overline B+\overline{\overline A}=\\ B+\overline B+A+\overline A=1+1=\textcolor{#228B22}{1}

4.) F^{3}=C\cdot B\cdot \overline{A}+ \overline{C}\cdot B\cdot \overline{A}+C\cdot B\cdot A+C\cdot \overline{B}\cdot A=\\=B\cdot \overline A(C+\overline C)+C\cdot A\cdot (B+\overline B)=\\=\textcolor{#228B22}{B\cdot \overline A+C\cdot A}

5.) F^{3}=\overline{C}*B*A+ \overline{C}*\overline{B}*A+\overline{C}*B*\overline{A}+\overline{C}*\overline{B}*\overline{A}

6.) F^{2}=B\cdot A+B\cdot \overline{A}+\overline{B}\cdot A+\overline{B}\cdot \overline{A}=B\cdot (A+\overline A)+\overline B\cdot (A+\overline A)=B+\overline B=\textcolor{#228B22}1

7.) F^{3}=(B+A)\cdot (\overline{C}+A)\cdot (C+A) =\\ A+(B\cdot \overline C\cdot C)=A+0=\textcolor{#228B22}A

8.) F^{3}=\overline{B}\cdot (B+A)\cdot (C+\overline{A})\cdot (\overline{C}+\overline{A})=\\ (\underbrace{\overline B\cdot B}_{\text{0}}+\overline B\cdot A)\cdot (\underbrace {\overline A+(C\cdot \overline C)}_{\overline{A}})=\overline B\cdot A\cdot \overline A=\textcolor{#228B22}0

Táblák

Igazságtábla

Az alábbi igazságtábla alapján írjuk fel a függvény konjuktív(ÉS-es, a nullákat nézzük) és diszjunktív(VAGY, 1-eseket nézzük) algebrai alakját!

\begin{array}{c:c:c:c:c:c} Sor & D & C &B & A & F^4 \\ \hline 0. &0 & 0 & 0 & 0 &0 \\ \hdashline 1. &0 & 0 & 0 & 1 &0\\ \hdashline 2. &0 & 0 & 1 & 0 &1\\ \hdashline 3. &0 & 0 & 1 & 1 &0\\ \hdashline 4. &0 & 1 & 0 & 0 &1\\ \hdashline 5. &0 & 1 & 0 & 1 &1\\ \hdashline 6. &0 & 1 & 1 & 0 &1\\ \hdashline 7. &0 & 1 & 1 & 1 &1\\ \hdashline 8. &1 & 0 & 0 & 0 &0\\ \hdashline 9. &1 & 0 & 0 & 1 &0\\ \hdashline 10. &1 & 0 & 1 & 0 &1\\ \hdashline 11. &1 & 0 & 1 & 1 &0\\ \hdashline 12. &1 & 1 & 0 & 0 &1\\ \hdashline 13. &1 & 1 & 0 & 1 &0\\ \hdashline 14. &1 & 1 & 1 & 0 &1\\ \hdashline 15. &1 & 1 & 1 & 0 &0\\ \end{array}

A konjuktív forma, amikor a 0 kimeneteket nézzük. Ahol a változó nulla, azt negálva jelöljük. Az egy sorban találhatókat összeVAGYoljuk és a zárójeleket pedig összeÉSeljük.

Konjuktív\\ F^4=(\overline D+\overline C+\overline B+\overline A)\cdot(\overline D+\overline C+\overline B+A)\cdot\\(\overline D+\overline C+B+A)\cdot(D+\overline C+\overline B+\overline A)\cdot\\(D+\overline C+\overline B+A)\cdot(D+\overline C+ B+A)\cdot\\(D+C+\overline B+A)\cdot(D+C+B+A)

A diszjunktív forma, amikor az 1 kimeneteket nézzük. Ahol a változó nulla, azt negálva jelöljük. Az egy sorban találhatókat összeÉSoljuk és a zárójeleket pedig összeVAGYoljuk.

Diszjunktív\\ F^4=\overline D\cdot\overline C\cdot B\cdot\overline A+\overline D\cdot C\cdot \overline B\cdot\overline A+\\\overline D\cdot C\cdot \overline B\cdot A+\overline D\cdot C\cdot B\cdot \overline A+\\\overline D\cdot C\cdot B\cdot A+D\cdot \overline C\cdot B\cdot \overline A+\\ D\cdot C\cdot \overline B\cdot \overline A+D\cdot C\cdot B\cdot \overline A

Sorszámos alakban úgy kell ezeket felírni, hogy a 0 (konjuktív) és 1 (diszjunktív) kimenetű sorok számait leírjuk az alábbiak szerint:

Konjuktív:\\F^4=\Pi^4(0,1,3,8,9,11,13,15)\\ Diszjunktív\\F^4=\Sigma(2,4,5,6,7,10,12,14)

Konjuktív forma grafikus egyszerűsítéshez

Párosával, de kettő hatványaival(2,4,8,16stb) kell bekarikázni a 0-t tartalmazó mezőket. Ez így néz ki:

Grafikus egyszerűsítés — Konjuktív alak grafikus egyszerűsítése

A bekarikázott halmazokat kell leírnunk az alábbiak szerint:

F^4=(\overline C+\overline B)\cdot(D+A)\cdot(\overline C+A)

A diszjunktív táblázatot hasonlóan kell egyszerűsíteni karikázással, csak itt az 1-eseket kell közös halmazba tenni.

F^4=\overline D\cdot C +B\cdot \overline A+C\cdot \overline A

Diszjunktív <–>konjuktív átalakítás

A két forma átalakítását az alábbi példán mutatom be. A megadott diszjunktív alakot alakítsuk át konjuktívvá grafikus úton.

F^4=\Pi^4(0,1,2,5,8,9,13,14) \implies \\ \overline {F^4}=\Pi^4(3,4,6,7,10,11,12,15)\implies \\F^4=\Sigma^4(0,3,4,5,8,9,11,12)

Grafikus átalakítás — Konjuktív (bal) és diszjunktív alakban felírva a fent megadott függvény

A négyzetekben lévő sorszámok az igazságtábla sorainak a számai. Pl.: a konjuktívnál a15. D+C+B+A, a diszjunktívnál a 15. D*C*B*A

1.2.2. Grafikus egyszerűsítések

Az alábbi függvényeket egyszerűsítsd grafikus módszerrel!

9.) F^{3}=\sum^{3}(0,2,4,6) \space \text{megoldása levezetéssel:}

A diszjunktív alakban megadott függvény igazságtáblába átírva. 1-est kell írni, ahol a sorszám szerepel a fenti megadásban. 0,2,4,6.

\begin{array}{c:c:c:c:c} Sor & C &B & A & F^3 \\ \hline 0. & 0 & 0 & 0 &1 \\ \hdashline 1. & 0 & 0 & 1 &0\\ \hdashline 2. & 0 & 1 & 0 &1\\ \hdashline 3. & 0 & 1 & 1 &0\\ \hdashline 4. & 1 & 0 & 0 &1\\ \hdashline 5. & 1 & 0 & 1 &0\\ \hdashline 6. & 1 & 1 & 0 &1\\ \hdashline 7. & 1 & 1 & 1 &0\\ \hdashline \end{array}

A táblázatba az alábbiak szerint kell berajzolni és kijelölni, majd egyszerűsíteni:

A táblázat bekarikázott részében minden egyesre igaz, hogy NEM A, ezért a megoldás:

Megoldás: F^3=\overline A

\.) F^{3}=\sum^{3}(2,3,4,5)\.) F^{3}=\sum^{3}(1,3,7)\.) F^{3}=\sum^{3}(1,4,6)\.) F^{3}=\sum^{3}(1,2,4,7)\.) F^{3}=\sum^{3}(1,3,5,7)

15.) F^{3}=\varPi^{3}(4,5,6,7) \space \text{megoldása levezetéssel:}

Konjuktív alakban a 0-k helye van megadva, eszerint kell az igazságtáblát is kitölteni. 4,5,6,7.

\begin{array}{c:c:c:c:c} Sor & C &B & A & F^3 \\ \hline 0. & 0 & 0 & 0 &1 \\ \hdashline 1. & 0 & 0 & 1 &1\\ \hdashline 2. & 0 & 1 & 0 &1\\ \hdashline 3. & 0 & 1 & 1 &1\\ \hdashline 4. & 1 & 0 & 0 &0\\ \hdashline 5. & 1 & 0 & 1 &0\\ \hdashline 6. & 1 & 1 & 0 &0\\ \hdashline 7. & 1 & 1 & 1 &0\\ \hdashline \end{array}

A táblázat bekarikázott részében minden 0-ra igaz, hogy C, ezért a megoldás:

F^{3}=C

\\ 16.) F^{3}=\varPi^{3}(5,7)\.) F^{3}=\varPi^{3}(1,3,5,7)\.) F^{3}=\varPi^{3}(0,2,5,7)\.) F^{3}=\varPi^{3}(0,2,4,5)\.) F^{3}=\varPi^{3}(1,2,3,4)

1.3. Megoldások

9.) F^{3}=\overline{A}; \\ 10.)F^{3}=\overline{C}*B+C*\overline{B}; \.)F^{3}=\overline{C}*A+B*A; \.)F^{3}=\overline{C}*\overline{B}*A+C*\overline{A}; \.)F^{3}=\overline{C}*\overline{B}*A+\overline{C}*B*\overline{A}+C*\overline{B}*\overline{A}+C*B*A; \\ 14.)F^{3}=A;\\ 15.)F^{3}=C;\\ 16.)F^{3}=C+A;\\ 17.)F^{3}=A;\\ 18.)F^{3}=(\overline{C}+\overline{A})*(C+A);\\ 19.)F^{3}=(\overline{C}+\overline{A})*(C+\overline{B}); \\ 20.)F^{3}=(\overline{C}+A)*(\overline{C}+B)*(C+\overline{B}+\overline{A});