Ellenállás hálózatok eredő ellenállása

Korábbi fejezetekben megismertük az elektromos ellenállás fogalmát és a rá vonatkozó egyenleteket, képleteket. Ezeket az áramköri elemeket, alkatrészeket soros, párhuzamos és vegyes kapcsolásban is összeköthetjük. Ezekben az esetekben a hálózat egy pontjáról nézve az ellenállások értékeinek eredőjét ki tudjuk számolni. Hogyan?

Soros kapcsolás eredő ellenállása

Ebben az esetben az áram az ellenállásokon egymás után folyik át. Sorban halad végig az ellenállásokon. Ebből már érezni, hogy minden ellenállás hátráltató hatását le kell küzdenie az áramnak. Ugyan annak az áramerősségnek, tehát az áramerősség minden sorban kapcsolt ellenálláson egyező értékű. A leküzdendő akadályok erőssége összeadódik. Szakmai nyelven mondva, a sorba kapcsolt ellenállások eredője az ellenállások értékeinek összege. Nézzük néhány példát a sorban kapcsolt ellenállásokra! Az R1, R2, R3 ellenállások egymással sorban vannak kapcsolva, melyekre Ug feszültséget adunk. Az áramkörben I áram folyik, mely mindegyik ellenálláson “átmegy”.

Soros kapcsolás

Az ábrán az A és B pont között mérhető eredő Re ellenállás:

R_e=R_1+R_2+R_3

A korábban megismert Ohm-törvény alapján az áramkörben folyó I áramerősség:

I=\frac{U_g}{R_e}=\frac{U_g}{R_1+R_2+R_3}

Ha továbbra is az Ohm-törvényt használjuk, akkor az egyes ellenállásokon eső feszültséget is ki tudjuk számolni. A sorba kapcsolt ellenállásokon azonos erősségű áram folyik. A rajtuk mérhető feszültséget az ábrán jelöltem kékkel és az alábbiak szerint számolható.

U_1=I*R_1\newline U_2=I*R_2\newline U_3=I*R_3 \newline \newline
\text{Kirchhoff II. törvénye szerint:} \newline
U_g=U_1+U_2+U_3=I*R_1+I*R_2+I*R_3=I*(R_1+R_2+R_3)=I*R_e

A fenti egyenletek igazolnak minden állítást, amit előtte tettem.

Párhuzamos kapcsolás eredő ellenállása

Ha az ellenállásokat az alábbi ábrán láthatók szerint kötjük, azt párhuzamos kapcsolásnak hívjuk.

Párhuzamos kapcsolás

Az Re eredő ellenállást az alábbi képlettel számoljuk ki. Figyelem, a képletben az Re eredő reciproka van!

\frac{1}{R_e}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}

Ebben az elrendezésben az ellenállásokon mérhető feszültség azonos, a rajzon is látható, ez most Ug-vel egyenlő. A főágban I áram folyik, ami Kirchhoff I. törvénye miatt minden csomópontban “elágazik”. Ezek és az Ohm-törvény ismeretében felírhatók az alábbiak:

I=I_1+I_2+I_3, \newline
I_1=\frac{U_g}{R_1}, I_2=\frac{U_g}{R_2}, I_3=\frac{U_g}{R_3}

Behelyettesítve az első képletbe, az I áramot számoljuk ki, az alábbit kapjuk:

I=\frac{U_g}{R_1}+\frac{U_g}{R_2}+\frac{U_g}{R_3}

Kiemelve az Ug-t a zárójel elé és rendezve az egyenletet:

I=U_g(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3})\newline\newline
I=U_g*\frac{1}{R_e}=\frac{U_g}{R_e}

Vegyes kapcsolás eredő ellenállása

Az elektronikával foglalkozók élete nem annyira egyszerű, hogy csak párhuzamos, vagy csak soros kapcsolás legyen egy ellenállás hálózatban. Lesznek, amik így, lesznek, amik úgy vannak kötve. Ezt hívjuk vegyes kapcsolásnak. De a gyakorlott szemű szakember könnyen észreveszi, melyik hogyan van kötve a többiekhez képest.

Az R2 és R1 egymással párhuzamosan van kötve, az eredőjük pedig sorban az R3-mal.

Vegyes kapcsolás esetén részellenállásokkal érdemes dolgozni. A következőkben az R1 és R2 ellenállás közös eredőjét R12-vel fogom jelölni. Az R alsó indexében azoknak az ellenállásoknak a száma fog szerepelni, amiknek az eredőjét számolom. Pl. R2 és R3 eredője R23. Pl. R23 és R5 eredője R235 lesz. A hálózat teljes eredő ellenállását Re-vel fogom jelölni.

Ezek után a fenti ábrán az eredőt részellenállásokra bontva számolom ki:

\frac{1}{R_{12}}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\newline
R_e=R_3+R_{12}

Az alábbi képen egy másik vegyes kapcsolás látható.

Az R1 és R3 sorban van kötve, az eredőjük pedig párhuzamosan az R2-vel

Az eredő ellenállás kiszámítása ismét rész eredő ellenállásokkal történik:

R_{13}=R_1+R_3\newline
\frac{1}{R_e}=\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_{13}}